ini soal induksi matematika ygy tapi pake cara eksponen
pake cara trs in yg punya aku
jwbnya yg jls ya kak
jgn ngasal
no bahasa alien
9. Terbukti bahwa salah satu faktor dari [tex]2^{2n-1}+3^{2n-1}[/tex] adalah 5, n bilangan asli
11. Terbukti bahwa [tex]4007^n-1[/tex] habis dibagi 2003, n bilangan asli.
PEMBAHASAN
Induksi matematika merupakan salah satu metode untuk membuktikan suatu rumus dalam matematika. Ada 3 tahapan dalam induksi matematika :
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
.
DIKETAHUI
9. Salah satu faktor dari [tex]2^{2n-1}+3^{2n-1}[/tex] adalah 5, n bilangan asli.
11. [tex]4007^n-1[/tex] habis dibagi 2003, n bilangan asli.
.
DITANYA
Buktikan pernyataan tersebut menggunakan induksi matematika.
.
PENYELESAIAN
Soal 9.
Salah satu faktor dari [tex]2^{2n-1}+3^{2n-1}[/tex] adalah 5, n bilangan asli.
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1 :
[tex]2^{2(1)-1}+3^{2(1)-1}=2+3[/tex]
[tex]2^{2(1)-1}+3^{2(1)-1}=5[/tex]
Untuk n = 1 bernilai benar.
.
2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
[tex]2^{2k-1}+3^{2k-1}[/tex] salah satu faktornya 5.
Bisa kita asumsikan :
[tex]2^{2k-1}+3^{2k-1}=5A[/tex], dengan A sembarang bilangan.
.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=2^{2k+2-1}+3^{2k+2-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=2^2.2^{2k-1}+3^2.3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=4.2^{2k-1}+9.3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=4.2^{2k-1}+(4+5)3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=4.2^{2k-1}+4.3^{2k-1}+5.3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=4\underbrace{[2^{2k-1}+3^{2k-1}]}_{=5A}+5.3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=4(5A)+5.3^{2k-1}[/tex]
[tex]2^{2(k+1)-1}+3^{2(k+1)-1}=5(4A+3^{2k-1})[/tex]
Dapat dilihat bahwa 5 merupakan salah satu faktornya. Maka untuk n = k+1 bernilai benar.
.
Karena ketiga syarat induksi matematika bernilai benar, maka terbukti bahwa salah satu faktor dari [tex]2^{2n-1}+3^{2n-1}[/tex] adalah 5, n bilangan asli.
.
.
Soal 11.
[tex]4007^n-1[/tex] habis dibagi 2003, n bilangan asli.
1. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = 1.
Untuk n = 1 :
[tex]4007^n-1=4007^1-1[/tex]
[tex]4007^n-1=4006[/tex]
4006 habis dibagi 2003. Maka untuk n = 1 bernilai benar.
.
2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k.
[tex]4007^k-1[/tex] habis dibagi 2003.
Bisa kita asumsikan :
[tex]4007^k-1=2003A[/tex], dengan A sembarang bilangan.
[tex]4007^k=2003A+1[/tex]
.
3. Membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk n = k+1.
[tex]4007^{k+1}-1=\underbrace{4007^k}_{=2003A+1}.4007-1[/tex]
[tex]4007^{k+1}-1=(2003A+1)4007-1[/tex]
[tex]4007^{k+1}-1=2003A(4007)+4007-1[/tex]
[tex]4007^{k+1}-1=2003A(4007)+4006[/tex]
[tex]4007^{k+1}-1=2003A(4007)+2(2003)[/tex]
[tex]4007^{k+1}-1=2003(4007A+2)~~~...kedua~ruas~dibagi~2003[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{4007^{k+1}-1}{2003}=\frac{2003(4007A+2)}{2003} }[/tex]
[tex]\displaystyle{\frac{4007^{k+1}-1}{2003}=4007A+2 }[/tex]
Ternyata untuk n = k+1 habis dibagi 2003, maka untuk n = 1 bernilai benar.
Karena ketiga syarat induksi matematika bernilai benar, maka terbukti bahwa [tex]4007^n-1[/tex] habis dibagi 2003, n bilangan asli.
.
KESIMPULAN
9. Terbukti bahwa salah satu faktor dari [tex]2^{2n-1}+3^{2n-1}[/tex] adalah 5, n bilangan asli
11. Terbukti bahwa [tex]4007^n-1[/tex] habis dibagi 2003, n bilangan asli.
.
PELAJARI LEBIH LANJUT
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/43126425
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/42843671
- Contoh induksi matematika : https://brainly.co.id/tugas/42479281
.
DETAIL JAWABAN
Kelas : 11
Mapel : Matematika
Bab : Induksi Matematika
Kode Kategorisasi : 11.2.2
[answer.2.content]
